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Quadratzahl, Primzahl, Kreiszahl Pi

Posted by sura1 - 11. Juni 2008

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http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratzahl

Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die durch die Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht. Beispielsweise ist 12 x 12 = 144 eine Quadratzahl. Die ersten Quadratzahlen sind

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …

Die Bezeichnung Quadratzahl leitet sich von der geometrischen Figur des Quadrats her. Die Anzahl der Steine, die man zum Legen eines Quadrats benötigt, entspricht immer einer Quadratzahl. So lässt sich beispielsweise ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 mit Hilfe von 16 Steinen legen.

Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Quadratzahlen zu den figurierten Zahlen, zu denen auch die Dreieckszahlen und Kubikzahlen gehören. Diese Begriffe waren schon den griechischen Mathematikern der Antike bekannt.

Eigenschaften

  • Gerade Quadratzahlen sind das Quadrat gerader Zahlen.
  • Ungerade Quadratzahlen sind das Quadrat ungerader Zahlen.
  • Jede Quadratzahl hat eine ungerade Anzahl von Teilern.

Formeln zum Generieren von Quadratzahlen

Jede Quadratzahl n2 ist die Summe der ersten n ungeraden Zahlen.

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratzahlaus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.

http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Zahlen als Teiler, nämlich der Zahl 1 und sich selbst. Das Wort Primzahl kommt aus dem Französischen (nombre premier) und bedeutet: ’die ersten Zahlen’. Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, … Die fundamentale Bedeutung der Primzahlen für viele Bereiche der Mathematik beruht auf den folgenden drei Konsequenzen aus dieser Definition:

  • Primzahlen lassen sich nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen, die beide größer als eins sind, darstellen. Diese Eigenschaft kann auch als Definition des Begriffes Primzahl verwendet werden.
  • Lemma von Euklid: Ist ein Produkt zweier natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar, so ist bereits einer der Faktoren durch sie teilbar.
  • Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Diese Produktdarstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig.

Eine natürliche Zahl größer als 1 heißt prim, wenn sie eine Primzahl ist, andernfalls heißt sie zusammengesetzt. Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt.

Bereits die antiken Griechen interessierten sich für die Primzahlen und entdeckten einige ihrer Eigenschaften. Obwohl sie über die Jahrhunderte stets einen großen Reiz auf die Menschen ausübten, sind bis heute viele die Primzahlen betreffenden Fragen ungeklärt.

Über zweitausend Jahre lang wusste man keinen praktischen Nutzen aus dem Wissen über die Primzahlen zu ziehen. Dies änderte sich erst mit dem Aufkommen elektronischer Rechenmaschinen, wo die Primzahlen beispielsweise in der Kryptographie eine zentrale Rolle spielen.

Liste der Rekordprimzahlen nach Jahren

Zahl

Ziffernanzahl

Jahr

Entdecker (genutzter Computer)

217 – 1

6

1588

Cataldi

219 – 1

6

1588

Cataldi

231 – 1

10

1772

Euler

(259 – 1)/179951

13

1867

Landry

2127 – 1

39

1876

Lucas

(2148+1)/17

44

1951

Ferrier

180·(2127-1)2+1

79

1951

Miller & Wheeler (EDSAC1)

2521-1

157

1952

Robinson (SWAC)

2607-1

183

1952

Robinson (SWAC)

21279-1

386

1952

Robinson (SWAC)

22203-1

664

1952

Robinson (SWAC)

22281-1

687

1952

Robinson (SWAC)

23217-1

969

1957

Riesel (BESK)

24423-1

1332

1961

Hurwitz (IBM7090)

29689-1

2917

1963

Gillies (ILLIAC 2)

29941-1

2993

1963

Gillies (ILLIAC 2)

211213-1

3376

1963

Gillies (ILLIAC 2)

219937-1

6002

1971

Tuckerman (IBM360/91)

221701-1

6533

1978

Noll & Nickel (CDC Cyber 174)

223209-1

6987

1979

Noll (CDC Cyber 174)

244497-1

13395

1979

Nelson & Slowinski (Cray 1)

286243-1

25962

1982

Slowinski (Cray 1)

2132049-1

39751

1983

Slowinski (Cray X-MP)

2216091-1

65050

1985

Slowinski (Cray X-MP/24)

2216193-1

65087

1989

„Amdahler Sechs“ (Amdahl 1200)

2756839-1

227832

1992

Slowinski & Gage (Cray 2)

2859433-1

258716

1994

Slowinski & Gage (Cray C90)

21257787-1

378632

1996

Slowinski & Gage (Cray T94)

21398269-1

420921

1996

Armengaud, Woltman (GIMPS, Pentium 90 MHz)

22976221-1

895932

1997

Spence, Woltman (GIMPS, Pentium 100 MHz)

23021377-1

909526

1998

Clarkson, Woltman, Kurowski (GIMPS, Pentium 200 MHz)

26972593-1

2098960

1999

Hajratwala, Woltman, Kurowski (GIMPS, Pentium 350 MHz)

213466917-1

4053946

2001

Cameron, Woltman, Kurowski (GIMPS, Athlon 800 MHz)

220996011-1

6320430

2003

Shafer (GIMPS, Pentium 4 2 GHz)

224036583-1

7235733

2004

Findley (GIMPS, Pentium 4 2,4 GHz)

225964951-1

7816230

2005

Nowak (GIMPS, Pentium 4 2,4 GHz)

230402457-1

9152052

2005

Cooper, Boone (GIMPS, Pentium 4 3 GHz)

232582657-1

9808358

2006

Cooper, Boone (GIMPS)

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahlaus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.

http://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl

Die Kreiszahl π (pi) ist eine mathematische Konstante; ihr numerischer Wert beträgt

π = 3,14159…

Sie beschreibt in der Geometrie das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Dieses Verhältnis ist unabhängig von der Größe des Kreises. Die Kreiszahl wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben pi (π) bezeichnet, dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes περιφέρεια periphereia (Randbereich) bzw. περίμετρος perimetros (Umfang). Die Bezeichnung pi (π) erschien erstmals 1706 in dem Buch Synopsis palmariorum mathesos (zu Deutsch etwa: Eine neue Einführung in die Mathematik) des aus Wales stammenden Gelehrten William Jones (1675–1749). Die Kreiszahl π wird auch Archimedes-Konstante oder ludolphsche Zahl (nach Ludolph van Ceulen) genannt.

Die ersten 100 Nachkommastellen

Da π eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: Die Darstellung ist stets unendlich lang und nicht periodisch. Die ersten 100 dezimalen Nachkommastellen lauten

π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 …

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